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インテグラ式解法・説明編

2010年08月21日 22:52

FF9part38をうpしました。


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さて、本題。
前回記事の問題に対する説明です。
真面目な数学の話に終始する長文であることを最初に断っておきます。
途中でふにふにとか間違っても言っていません(-ω-)

まずは問題再掲。


★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆

今日は金曜日である。では、230 日後は何曜日か。

★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆


この問題、何が面白いかって、
見た目は高校数学で扱われるようなコテコテの整数問題ですが、
「230 ってのは2を30回かけた数のことですよ」
という補足さえつければ小学校の算数の問題としても
十分に成立してしまうということです。

よくオレの実況動画のコメントで
「こんなん小学生でもできるぞ」なんていうのを見かけますが、
この問題もまさしく「小学生の知識と計算技術で解ける問題」なのです。



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説明に入りましょう。
先ほど触れた「小学生的解法」とはこんな感じで
泥臭く計算するやり方かと思われます。

【解法1】

  230 = 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×
        2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×
        2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
     = 1073741824

  これを7で割ると、

  1073741824 ÷ 7 = 153391689 余り 1  となる。

  7で割って余りが1ということは、
  求める日の曜日が今日の1つ後の曜日ということである。
  今日は金曜日という条件より、230 日後は土曜日である。


このやり方で、一応解くことはできます。
ただ計算ミスを一度でも犯したら即終了という危険性も孕んでいます。
疲れていて目が「渋々」している時には絶対にやりたくない方法です。



-----

次の発想として自然なのは、規則性に注目する解法かと思われます。
ただ、出題しておいて大変お恥ずかしい限りですが、
今回コメントやメッセージで反響をいただくまでは
オレ自身はこのやり方を全く想定していませんでした。なのでびっくり。

【解法2】

  21 ÷ 7 = 0 余り 2
  22 ÷ 7 = 0 余り 4
  23 ÷ 7 = 1 余り 1
  24 ÷ 7 = 2 余り 2
  25 ÷ 7 = 4 余り 4
  26 ÷ 7 = 9 余り 1

  という計算結果より、
  余りの値は「2・4・1」という3つの数字の周期で
  ループし続けるものと予想できる
  23、26 など、指数が3の倍数である(3で割り切れる)値を
  7で割ったときの余りは1なので、
  同じく3の倍数を指数に持つ230 を7で割ったときの余りも1である。
  今日は金曜日という条件より、230 日後は土曜日である。


このやり方、速い、実に速い! それでいて分かりやすい!
ただ残念なことに、余りの値の変化に周期があるというのは
あくまでも推測にすぎません。
「たぶんこんな法則があるんじゃないかなぁーとオレは思う。だからこれが答えでいいっしょ。」
という曖昧な態度を、残念ながら数学は許してくれません。

この周期を解答に使いたいというのであれば、
周期の存在を証明するという作業が不可欠となります。

証明…… できるかなぁとハラハラドキドキでしたが、一応まとまりました。
こんな感じでいかがでしょうか。

【解法2+α】

  23n を7で割ったときの余りが1である、ということを数学的帰納法によって証明する。

  (Ⅰ)まず、n=1のとき、23=8なので
     8÷7=1 余り 1 となる。

  (Ⅱ)23n を7で割ったときの余りが1であると仮定する。
     23n を7で割ったときの余りが1である、
     というのは
     23n-1 が7の倍数である、と言い換えられる。
     つまり、3n-1 = 7A とおくことができる。
     このとき、
     23(n+1)-1 = 23n+3-1
            = 23・23n-1
            = 8・23n-1
            = (7+1)23n-1
            = 7・23n3n-1
            = 7・23n+7A
            = 7(23n+A)
     となり、23(n+1)-1は7の倍数であるということが言える。

  (Ⅰ)(Ⅱ)より、すべての自然数nに関して
  23n を7で割ったときの余りは1である。  <Q.E.D.>


ふぅ~、なんとかできました(-ω-;)

ただ、やっぱり証明なんて面倒くさいですよね。
実感レベル・推測レベルではほぼ確実に見えている「事実」があるのに
それを証明できなければ主張すらさせてもらえない――
オレはそんな数学の頑固さが、実はけっこう嫌いです。



-----

ならばどうするか。
こりゃあ、
「証明などしなくとも一発で答えが導ける方法を探せばおk!」
という発想にどうしてもなります。
オレ基本面倒くさがりなんで。

以下、面倒くさがりの解法を2つ。
ちなみに面倒くさがりはTOMOも一緒です。
前回記事を書いてから実際にTOMOにこの問題の話をしてみたところ、
まず答えだけを15秒くらいで返してきました。
さらに聞いてみると、彼の頭の中では【解法4】に似たものがイメージされていたようです。

【解法3】

  230 = (210)3 = 10243

  10243 = (1000+24)3
  (-ω-)<「と、1000というキリの良い数字とそれ以外という展開をするのが整数問題の王道ですが、
        今回は7で割るということがネタになっている以上、
        1000という数字にはあまり魅力がありません。
        1000に近い7で割り切れる整数は… と考えると1001が当てはまりますが、
        せっかくなんで、もっと欲張って寄せちゃいましょう。ふにふに。」

  10243 = (1022+2)3

  ここで、1022=A(Aは7で割り切れる整数)とおくと、
  (1022+2)3 = (A+2)3
         = A3+6A2+12A+8
         = A(A2+6A+12)+8

  A(A2+6A+12) は7で割り切れる数なので、
  残りの8について考えればよい。
  8÷7=1 余り 1
  7で割って余りが1ということは、
  求める日の曜日が今日の1つ後の曜日ということである。
  今日は金曜日という条件より、230 日後は土曜日である。



-----

【解法3】は、1001? 1022? のあたりで万が一の計算ミスの可能性がまだあります。
【解法4】は、計算ミスとはほぼ無縁、しかもシンプルで美しい。
これこそがTOMOの言うところの美しい解き方、インテグラ式解法の象徴と言えそうです。

【解法4】

  230 = (23)10 = 810

  (-ω-)<「ここで、またさっきのように展開です。
        今度は寄せるほどのものもございません。nonふに。」 (失礼

  810 = (7+1)10
     = 710 + 10・79・1 + 45・78・12 + ・・・・ + 10・7・19 + 110

  右辺最下段の式に関して、110 以外の項はすべて7の倍数であるので、
  230 を7で割った余りが1であるということが言える。
  今日は金曜日という条件より、230 日後は土曜日である。



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おしまいです。長かった~(*_*;)
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コメント

  1. ロクサス29 | URL | -

    いま生放送みてきましたよ
    14000以上のコメwwwww
    さすがセピアさんです
    規則性…なるほど
    僕じゃあ五分じゃあとうてい思いつかないです…この世には頭のいい人がいっぱいいますね

    続きの解法も楽しみに待ってます

    最後に
    今回のFFⅨ最初から最後までずっと笑わせていただきました
    次もまた楽しみにしています

  2. ディターミナント | URL | -

    二項展開する解法4はきれいですね~
    悔しいので解法2+αで「Aは自然数である」と記したほうが良いですよ、と揚げ足を取ってみたり…

  3. ゆがさなしき | URL | -

    解法4は、本当に美しいですね!見た時思わず感動の雄叫びをあげちゃいました(笑)

    数学は、「いかに簡単にして…一瞬で答えを導くか」がキーとなる学問です。なので…面倒臭がりさんの方が数学は得意な人が多いそうですよ。

  4. ひすいくん | URL | -

    証明お疲れ様でした



    やはり 美しい解法を普段から身に付けたいですね


    しかし実際 自分では泥臭く解いているほうが多そうなんでなんともいえません

  5. キツネ | URL | NkKHpyac

    やっぱり数学はおもしろいですねー!
    大学に入って高校ほど数学を勉強しないようになりましたが
    久しぶりに勉強してみたいと思いました!
    ありがとうございますi-179

  6. ペリ | URL | -

    自分は
    数学のいかにこの問いを
    解くかを考えるのに魅力をかんじますね(*´∇`*)


    それより
    ふにふにの存在感ワロスww

  7. Gucci | URL | -

    サーセンwwwww
    途中で読むの諦めましたwww

    コメ読んだ限り皆さん頭良いですね!
    セピアさんとTOMOさんも・・・

    自分もこの位頭がよくなればと思ってます・・・・
    実況頑張ってください!

  8. | |

    管理人のみ閲覧できます

    このコメントは管理人のみ閲覧できます

  9. ロクサス29 | URL | -

    解法4美しすぎです


    ぼくは今高校三年の現役受験生で理系の国立や早慶とかを夢見て勉強しているのですが


    この問題ちょっと改良すればMarchとかで出てもおかしくないレベルの良問ですよ


    いつかの生放送でセピアさんが
    「TOMOくんはすごい人なんだよ」
    って言ったとき
    「なめてないですよー」とかコメントした記憶がありますが
    こういっては失礼で申し訳ないのですが
    今やっとTOMOさんって本当にすごい人なんだと実感した気がします


    では今日のギャラクシーのup楽しみにしています

    しぶしぶーwwwww
    ふにふにーwwwww

  10. まに | URL | wLMIWoss

    セピアやっぱり理系じゃないのw

  11. | URL | fJCkTmRs

    セピアー、結婚してくれ。

    全部の解放の発想はなかった。
    中学受験くらいならよく出そうだな。

    それ自分で考えたんだったら、もっと出してほしいな。
    楽しいもん。

  12. | |

    管理人のみ閲覧できます

    このコメントは管理人のみ閲覧できます

  13. 並木。 | URL | -

    なるほど・・・わからん・・・
    自分がバカなんで理解力がないっていうか・・・w
    とりあえず寄せちゃいましょう。ふにふに。は思わず吹いたww

  14. tutelary | URL | -

    なるほど~
    二項定理を使うんですね~
    凄く美しい解法です^^

    解法2+αの最初に「nは自然数」と入れた方がいいかもしれません~

  15. EX | URL | -

    いやぁ~長かった。高1の俺でもこんな感じの証明とか見たことあるんで分かりました。

    TOMOさんは4番目で解くなんてさすがですね。
    僕は2番目でときました。案外こういうのって気づけば簡単ですよね。

    FF9見てきますね。

  16. 聖治 | URL | miEtbOuU

    受験生なのに挫折した私にとってもわかりやすい解法でありがとうございます!!
    あー4番目のやり方あってたじゃん!!!!くやしぃ!!!

    あれ?最初で断っておいて結局ふにふに言ってる気がするのは気n(ry

    FF9楽しく見させていただきました。次回も楽しみにしております。

  17. yuppi | URL | -

    セピアさんの生放送、かかさず見てますよww
    あの朝方までの放送も面白かったですー!

    数学苦手なので私には
    分からなかったです(笑)

  18. 受験生w | URL | oKbxQjOc

    長いのお疲れ様でした。

    渋々はしないですねww
    ふにふに言ってるじゃないか!w

    解法4美しい!
    TOMO凄い!数学教えて!w

    2の30乗=8の10乗ってトコまでは思いついたんですけどね...
    やっぱり数学無理www

    生、FF9、ギャラクシー、サンシャイン、
    無理せず頑張ってください。

  19. polo | URL | fuWfkpD6

    やっぱ博識あるキャラがにあってますってw
    自分は理系ですが数学が苦手で・・・
    久しぶりにきれいな回答を見ました!

  20. フジネ | URL | -

    さすがはインテグラTOMO…数学高難易度『積分』の名を持つだけのことはありますね…その発想は無かった。
    二項定理使って展開するのは学習前の人には分かりづらいかも知れませんが、解法4大好きです☆
    よってTOMOが大好きです☆(笑)
    またこういう機会を設けて、TOMOさんの素晴らしさを教えてください

    セピアさんは数学嫌いっぽいですが、僕は結構好きです。この問題みたいに、解き方が複数あるのが魅力的☆解法4を見たときにはため息が出るくらい感動しました☆

    先日のコメントは解き方必死に網羅しただけになってしまって申し訳ない(泣)
    セピアさん、TOMOさん、これからも動画を楽しく見させていただきます!

  21. スマグッミ | URL | -

    うおぉぉおおぉ??

    途中(解法3あたり)まではなんとかついて行けていたのですが・・・難しい(><;;)高校や中学の数学はほとんど忘れている可能性がありますwwやばい・・・。

     丁寧に照明までして下ったセピアさんを尊敬します・・・。m(_ _)m

  22. やふう | URL | -

    どうもこんにちは。

    解法4・・・思いつかなかったorz
    理系なのに・・・

    そういえば解法4見て思い出したんですが、
    「x^nをx+1で割ったときの余りを求めよ」って問題の解き方に似てますね。
    どこが似ているかは・・・まあセピアさんなら言わずもがなってとこですかねw

  23. あ | URL | -

    なるほど、さっぱりわからん。

  24. | URL | we2kvQAM

    なるほど、わからん

    すみません自分学生ですけどまったくわかりません
    そして途中から読むの諦めました´q`
    俺もこれくらい勉強できるようになればいいのにねぇ

    しかし存在感のあるふにふにだ

  25. ロクサス29 | URL | -

    ラジオ本当に笑いすぎて涙出てきましたwwwww

    ぼくの勉強時間が…(笑)

    ふにふにとぱふぱふはどっちがおっきいかのアンケートはぱふぱふだったけど

    どっちが好きかだったらみんなふにふにだと思いますよwwwww

    とにかく寝不足に気をつけてください
    遅くなっても大丈夫なのでまた次のupも楽しみにしています

  26. 秀吉 | URL | -

    なんかブログが長かった~(*_*;)

    生放送見てきたお!

    ・・・・内容わすれたors

  27. | URL | -

    最近大学の文系学部にいて数学から離れていたせいか
    この記事を見て無性にこの類の問題を解きたくなってきましたw
    高校の頃の問題集とか、引っ張り出してこようかな?

    これからも、ニコ生も動画うpも楽しみにしてます。
    もう少し暑い日が続くようですので、お体に気をつけて!

  28. れあ | URL | -

    解法4はほんとうに素晴らしい方法ですね.
    解法3しか思いつきませんでした^^;

    解法2の推測的な発想も凄いと思うのですが,

    証明については,数学的帰納法意外では、0以上の整数mについて、
    「2のm乗と2の(m+3)乗の差が7の倍数になる」のを

    ・2の(m+3)乗 - 2のm乗 = (2の3乗-1)×2のm乗 = 7 × 2のm乗

    のように証明できるので、
    2の0乗、2の3乗、2の6乗、2の9乗、...、2の30乗
    はすべて同じ余りになると言えるので、(差がすべて7の倍数だから)
    2の0乗=1 の余り1に同じになるということが、割と簡単に言えますね.

    ギャラクシーとサンシャインは毎週楽しみにしています。お体にお気をつけて頑張ってください!

  29. inko | URL | -

    いかん
    普通に記事でめまいが(´゚ω゚`)

    使ってない脳みそいきなり使うとすごいことになるってわかった。

  30. こひ | URL | -

    ほっほ!
    解法4は二項定理ですか!
    なるほどこれは簡単ですね。
    さすがTOMO氏!
    自分は規則性について帰納法で証明するのが手一杯です
    ヒラメキやらが全くないので(^_^;)

  31. いす | URL | -

    TOMOさんの解法美しくてわかりやすいですね。


    自分は合同式で解きました(modのやつ)。

    2^30=8^10    8≡1(mod7)より、
       ≡1^10(mod7)
      =1
    よって2^30を7で割った余りは1。

    手抜きかもしれませんが…(-o-;)

  32. wako | URL | -

    凄いですね。

    難しいこと思いつかなくて(笑)
    単純に
    2^30=〔2×2×2〕^10=8^10

    ^10の部分は置いといて。
    8-7=1


    プラス1曜日で、土曜日。

    とか考えてました(苦笑)

  33. k | URL | -

    15秒で答えだせちゃうのは凄いですねー
    俺は紙に書かないと無理だなぁ
    凡人だなぁw

  34. m | URL | -

    大学受験思い出しました。
    数学的帰納法を使って解かせるために小問をもうけて、
    (1)で推測させ(2)で証明せよっていう問題、
    よく見た気がします。
    でもやっぱり二項定理がいいですよねぇ。

    最近ラジオよくやっとりますね。夜遅くなので聞けてませんが。
    最近FF9実況の更新が早くて個人的に嬉しいです。
    応援してます。

  35. ユカワ | URL | -

    二項定理万能ですね!

  36. 緑茶 | URL | mQop/nM.

    はじめまして。
    解法2はmod(余り)を利用した計算方法ですね。
    私も31のいすさんのように解きました。

    ちょうど暗号の術式として学んだばかりだったので、なんだか嬉しかったです♪
    これからも収録頑張ってください★

  37. | |

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